Zahlsystem: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Zahlensystem braucht man zur Darstellung von Zahlen. Zahlen sind für uns sehr wichtig, weil sie einen bestimmten Wert ausdrücken. Es kann z.B. einen großen Unterschied machen, ob du 25 oder 52 Murmeln zum Spielen hast. Ein Zahlensystem legt fest, welches Symbol welchem Wert zugeordnet ist.
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Ein Zahlensystem braucht man zur Darstellung von Zahlen und deren Werten. Es kann z.B. einen großen Unterschied machen, ob du 25 oder 52 Murmeln zum Spielen hast.
  
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Ein Zahlensystem ist also eine Sammlung von Regeln, die die Zahlen- und Wertebildung beschreiben. Man unterteilt Zahlsysteme in zwei Gruppen: Die '''Additionssyteme''' und die '''Stellenwertsysteme'''.
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Man unterteilt Zahlensysteme in zwei Gruppen: Die '''Additionssyteme''' und die '''Stellenwertsysteme'''.
  
  
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'''Stellenwertsysteme''', auch Positionssysteme genannt, können mit wenigen Symbolen sehr große Zahlen ausdrücken. Der Wert eines Symbols hängt aber nicht nur vom Symbol selber ab sondern auch von der Position, an der das Symbol steht. Ein Beispiel für Stellenwertsysteme ist das Dezimalsystem, mit dem wir rechnen. Hier benutzen wir die Symbole 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  und 9. Sie reichen aus, um jede Zahl darstellen zu können. Man sagt, das Dezimalsystem hat die Basis 10. Das heißt, es braucht insgesamt zehn Symbole, um alle Zahlen darstellen zu können. Es gibt auch Stellenwertsysteme mit anderen Basen, z.B. mit der Basis 2. Hier gibt es nur die Symbole 0 und 1, um Zahlen darzustellen. Unsere Computer arbeiten in diesem System.
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== Stellenwertsysteme ==
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'''Stellenwertsysteme''', auch Positionssysteme genannt, können mit wenigen Symbolen sehr große Zahlen ausdrücken. Der Wert eines Symbols hängt aber nicht nur vom Symbol selber ab sondern auch von der Position, an der das Symbol steht. Ein Beispiel für Stellenwertsysteme ist das Dezimalsystem, mit dem wir rechnen. Hier benutzen wir die Symbole 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  und 9. Das sind die Zahlen, die du auch aus der Schule kennst. Sie reichen aus, um jede Zahl darstellen zu können. Man sagt, das Dezimalsystem hat die Basis 10. Das heißt, es braucht insgesamt zehn Symbole, um alle Zahlen darstellen zu können.  
  
  
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Die Zahl 123 hat den Wert:
 
Die Zahl 123 hat den Wert:
  
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(1 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1) = 123
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(1 × 100) + (2 × 10) + (3 × 1) = 100 + 20 + 3 = 123  
  
  
 
Denken wir nochmal an die Murmeln vom Anfang.
 
Denken wir nochmal an die Murmeln vom Anfang.
  
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25 bedeutet, jemand hat (2 * 10) + (5 * 1), also 25 Murmeln.
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25 bedeutet, jemand hat (2 × 10) + (5 × 1), also 25 Murmeln.
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52 bedeutet, jemand hat (5 × 10) + (2 × 1), also 52 Murmeln.
  
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52 bedeutet, jemand hat (5 * 10) + (2 * 1), also 52 Murmeln.
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Beide Zahlen werden mit denselben Symbolen dargestellt. Aber die Position der Symbole verändert den Wert. Also ist 52 mehr als 25.
  
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Beide Zahlen werden mit den selben Symbolen dargestellt. Aber die Position der Symbole verändert den Wert. Also ist 52 mehr als 25.
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Es gibt auch Stellenwertsysteme mit anderen Basen, z.B. mit der Basis 2. Hier gibt es nur die Symbole 0 und 1, um Zahlen darzustellen. Unsere Computer arbeiten in diesem System.
  
  
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'''Additionssysteme''' funktionieren etwas anders. Hier wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Symbole dargestellt. Man addiert also alle Symbole, die direkt hintereinander stehen und erhält so den Wert. Zur Darstellung von großen Zahlen, ist dieses System nicht gut geeignet. Trotzdem wurde das System früher beispielsweise von den Römern benutzt.
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== Additionssysteme ==
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Nehmen wir das Beispiel von oben erneut und nutzen das Additionssystem, dann bekommt die Zahl 123 einen ganz anderen Wert:
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123 -> 1 + 2 + 3 = 6
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'''Additionssysteme''' funktionieren etwas anders. Hier hat jedes Symbol einen festen Wert. Man addiert also alle Symbole, die direkt hintereinander stehen und erhält so den Wert. Zur Darstellung von großen Zahlen ist dieses System nicht gut geeignet. Trotzdem wurde das System früher beispielsweise von den Römern benutzt.
  
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Denken wir nochmal an die Murmeln.
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Die Tabelle zeigt dir, welche Symbole die Römer genutzt haben und welchen Wert sie in unseren Zahlen haben:
  
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25 bedeutet, jemand hat 2 + 5, also 7 Murmeln.
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{| class="wikitable"
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! Römische Symbole !! Wert der Symbole in unseren Zahlen
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| I || 1
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| V || 5
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| X || 10
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|-
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| L || 50
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|-
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| C || 100
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|-
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| D || 500
 +
|-
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| M || 1000
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|}
  
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52 bedeutet, jemand hat 5 + 2, also 7 Murmeln.
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Die Zahl 123 haben die Römer so geschrieben: CXXIII
  
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In einem Additionssystem ist die Position des Symbols nicht von Bedeutung.
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Also: C + X + X + I + I + I = 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 123

Aktuelle Version vom 19. Februar 2017, 17:37 Uhr

Ein Zahlensystem braucht man zur Darstellung von Zahlen und deren Werten. Es kann z.B. einen großen Unterschied machen, ob du 25 oder 52 Murmeln zum Spielen hast.

Man unterteilt Zahlensysteme in zwei Gruppen: Die Additionssyteme und die Stellenwertsysteme.


Stellenwertsysteme

Stellenwertsysteme, auch Positionssysteme genannt, können mit wenigen Symbolen sehr große Zahlen ausdrücken. Der Wert eines Symbols hängt aber nicht nur vom Symbol selber ab sondern auch von der Position, an der das Symbol steht. Ein Beispiel für Stellenwertsysteme ist das Dezimalsystem, mit dem wir rechnen. Hier benutzen wir die Symbole 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Das sind die Zahlen, die du auch aus der Schule kennst. Sie reichen aus, um jede Zahl darstellen zu können. Man sagt, das Dezimalsystem hat die Basis 10. Das heißt, es braucht insgesamt zehn Symbole, um alle Zahlen darstellen zu können.


Ein Beispiel: Die Zahl 123 hat den Wert:

(1 × 100) + (2 × 10) + (3 × 1) = 100 + 20 + 3 = 123


Denken wir nochmal an die Murmeln vom Anfang.

25 bedeutet, jemand hat (2 × 10) + (5 × 1), also 25 Murmeln.

52 bedeutet, jemand hat (5 × 10) + (2 × 1), also 52 Murmeln.

Beide Zahlen werden mit denselben Symbolen dargestellt. Aber die Position der Symbole verändert den Wert. Also ist 52 mehr als 25.

Es gibt auch Stellenwertsysteme mit anderen Basen, z.B. mit der Basis 2. Hier gibt es nur die Symbole 0 und 1, um Zahlen darzustellen. Unsere Computer arbeiten in diesem System.


Additionssysteme

Additionssysteme funktionieren etwas anders. Hier hat jedes Symbol einen festen Wert. Man addiert also alle Symbole, die direkt hintereinander stehen und erhält so den Wert. Zur Darstellung von großen Zahlen ist dieses System nicht gut geeignet. Trotzdem wurde das System früher beispielsweise von den Römern benutzt.

Die Tabelle zeigt dir, welche Symbole die Römer genutzt haben und welchen Wert sie in unseren Zahlen haben:

Römische Symbole Wert der Symbole in unseren Zahlen
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Die Zahl 123 haben die Römer so geschrieben: CXXIII

Also: C + X + X + I + I + I = 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 123

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